35. JAKOBIÁN ZOBRAZENÍ. ODVOĎTE PRO TRANSFORMACI DO VÁLCOVÝCHÝCH SOUŘADNIC.

RANSFORMAČNÍ ROVNICE: COSj=X/r; SINj=Y/r ÞX=r COSj; Y=r SINj.   JAKOBIÁN TRANSFORMACE:

                                                                                                                                                                                                 

                                                                         

 

 

 

 

 

 

 


PAK

 

36. JAKOBIÁN ZOBRAZENÍ. ODVOĎTE PRO TRANSFORMACI DO SFÉRICKÝCH SOUŘADNIC.

X=r1COSj,  Y=r1SINj, Z=rCOSu, r1=rSINu®    X=rCOSj SINu, Y=rSINj SINu, Z=rCOSu, KDE r³0; 0£j£2p;  0£u£p. OBECNĚ PAK PLATÍ:

 

 

 

KDE  J  JE JAKOBIÁN ZOBRAZENÍ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


37. VÝPOČET OBJEMU REGULÁRNÍ PROSTOROVÉ OLASTI (POMOCÍ TROJNÉHO INTEGRÁLU).

m=rV  POKUD JE HUSTOTA r=h(x,y,z)=1(KONSTANTNÍ), PAK JE HMOTNOST OBLASTI  W  ROVNA JEJÍMU OBJEMU.(LZE ŘEŠIT DVOJNÝM INTEGRÁLEM).

 

 

 

 

 


38. VÝPOČET STATICKÝCH MOMENTÚ PROSTOROVÉ OLASTI K SOUŘADNOCOVÝM ROVINÁM (POMOCÍ TROJNÉHO INTEGRÁLU).

dS = r*dm, KDE r…VZDÁLENOST ELEMENTU HMOTNOSTI dm OD ROVINY.

 

 

 

 

 

 


39. VÝPOČET MOMENTÚ SETRVAČNOSTI PROSTOROVÉ OLASTI K SOUŘADNOCOVÝM OSÁM (POMOCÍ TROJNÉHO INTEGRÁLU).

dI = r2dm, KDE r…VZDÁLENOST ELEMENTU HMOTNOSTI dm OD OSY.

 

 

 

 

 

 


40. VÝPOČET TĚŽIŠTĚ PROSTOROVÉ OLASTI (POMOCÍ TROJNÉHO INTEGRÁLU).

SOUŘADNICE TĚŽIŠTĚ T=[XT,YT,ZT];  XT=Syz/m, yT=Sxz/m, ZT=Sxy/m,  KDE S JE STATICKÝ MOMENT PROSTOROVÉ OBLASTI (TĚLESA) K SOUŘADNOCOVÝM ROVINÁM XY, XZ, YZ A m JE HMOTNOST (RESP. OBJEM DANÉ OBLASTI).

dS = r*dm, KDE r…VZDÁLENOST ELEMENTU HMOTNOSTI dm OD ROVINY.

 

 

 

 

 

 

41. náhodný jev, jev jistý a nemožný.

náhodný jev je výsledek pokusu , oněmž má smysl uvažovat, zda nastal či nenastal. (např. jdu do restaurace a pokus je …„je volný alespoň jeden stůl“, „dojde k poruše před ujetím 50000 km“).

jev jistý…značíme-i, jev, který nastane vždy za daných podmínek. jev nemožný… značíme-o, jev, který za daných podmínek nenastane.

42. klasická definice pravděpodobnosti.

jestli-že prostor elementárních jevů (pokusy,které se nedají rozložit) obsahuje a jevů e1, e2,…, en, které jsou stejně možné a jev a se slkádá z n elementárních jevů e1, e2,…, eN, pak pravděpodobnost jevu a je definována P(a)=m/n= počet příznivých případů: počet možných případů.

 

43. statistická definice pravděpodobnosti.

n-krát opakuju náhodný pokus

n(a)…počet pokusů v němž nastal jev a

 h(a)=n(a)/n…relativní četnost zastoupení jevu a, pro

 

 

 


VYCHáZí SE ZE STATISTIKY, tzn. OPAKOVáNí POKUSů A TABULKOVé ZAZNAMENáVáNí.

 

44. PRAVDěPODOBNOST SOUčTU DVOU OBECNýCH JEVů.

JSOU-LI JEVY A A B NESLUčITELNé (DISJUNKTNí), tzn. NEMOHOU NASTAT SOUčASNě. p(AÈB)=p(A)+p(B)

PRO OBECNé JEVY, kde p(AÇB)¹0

p(AÈB)= p(A)+p(B)- p(AÇB)

45. podmíněná pravděpodobnost.

říkáme. že jev a je podmíněný jevu b, jestli-že se jev a uskuteční za podmínky, že nastal jev b. podmíněná pravděpodobnost a za podmínky b značíme: p(a/b) (tzn. nastal jev a za pomínky b).

Pravděpodobnost p(a/b)=p(AÇB)/p(B)…statisticky …kolikrát nastal jev a, když nastal jev b.

 

46. pravděpodobnost součinu dvou obecných jevů.

a,b…jsou ze stejného jevového pole.

p(AÇB)= p(a/b)* p(B); p(AÇB)= p(b/a)* p(a); p(b/a)=p(AÇB)/p(a)

jestli-že  je jev a nezávislý NA b, potom pravděpodobnost, že nastane jev a za podmínky b p(a/b)= p(a)…kde a,b jsou nezávislé jevy, potom p(AÇB)= p(b)* p(b).

 

47. bernoulliova posloupnost nezávislých pokusů.

náhodný pokus-jev a opakujeme n-krát. (např. 5 ktrát hodím kostkou, p-st, že 2 krát padne 6; rodina má 4 děti, jaká je pravděpodobnost 3 chlapců?)

jev a s p-stí p(a)= p, jev a nenastane s pravděpodobností q=1-p. pokus opakujeme n-krát, zajímá nás, že jev nastal k- krát… pK p-st, že jev a nastal k- krát. p(aÇaÇa…a)= p*p*p*p*p*…*p= pK;    pn-Kp-st, že jev a nenastal ve zbylých pokusech   p(`aÇ`aÇ`a…Ç`a)…n-K  krát.Þmožností je

celkem (n  NAD  K).                                                               

 

 


{kde n/k znamená kombinační číslo (n  NAD  K).}

48. náhodná proměnná, obor hodnot  np.

 výsledek pokusu dává nějaké číslo. náhodná proměnná je reálná funkce NA množině elementárníích jevů, která každému jevu přiřadí nejaké reálné číslo.

obor hodnot  np je množina reálných čísel jichž může náhodná proměnná nabýt ….značíme ji  m.

- np obvykle značíme  velkými písmeny z konce abecedy x,y,z,…

- realizaci náhodné proměnné hodnoty jež np nabyla obvykle značíme malými písmeny x,y,z,…ÞX=x  znamená, že np x   nabyla hodnoty x  v určitém pokusu.

49. diskrétní a spojitá náhodná pproměnná.

u dnp obor hodnot tvoří posloupnost (konečnou či nekonečnou) nějakých hodnot (je spočetná, lze ji očíslovat).

u snp tvoří obor hodnot nespočetná množina reálných čísel (interval). zákon rozdělení pravděpodobnosti je pravidlo, které každé hodnotě u dnp, nebo každému intervalu u snp přiřadí pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude dané hodnoty respektive leží v daném intervalu. obvykle se popisuje distribuční funkcí, nebo frekvenční funkcí.

50. distribuční funkce náhodné veličiny.

distribuční funkce f(x) náhodné veličiny x je reálná funkce, která " x Îr přiřadí pravděpodobnost, že náhodná proměnná nabyde hodnoty < x. tj. f(x)=p(x< x), xÎ(-¥,¥).

51. distribuční funkce náhodné veličiny, její vlastnosti.

distribuční funkce f(x) náhodné veličiny x je reálná funkce, která " x Îr přiřadí pravděpodobnost, že náhodná proměnná nabyde hodnoty < x. tj. f(x)=p(x< x), xÎ(-¥,¥).

-f(x) je neklesající, tzn. pro x1< x2, platí  f(x1) < f(x2) (s rostoucím x p-st roste).  0£ f(x) £1;

-


P(a£x£b)= f(b) - f(a)

52. grafické zobrazení pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné proměnné.

Bodový diagram               polygon

úsečkový diagram           histogram

 

 

53. binomické rozdělení (rozložení) dnp.

binomické rozdělení má dnp x, která označuje počet výsledků v beroulliho posloupnosti nezávislých pokusů.

má dva parametry: n…počet pokusů;   p…pravděpodobnost jevu  a.  značíme ji bi(n,p).

pravděpodobnostní funkce

 

 


{kde n/xi znamená kombinační číslo (n  NAD xi).}

54. rovnoměrné (rozložení) dnp.

dnp jejíž všechny realizace jsou stejně pravděpodobné. má jeden parametr: n…počet hodnot x (např. počet teček).

značíme r(n);   p(xi)=1/n; xi=1,2,…,n

 

55. hustota pravděpodobnosti spojité np.

Snp má nespočetné množství hodnot tj. p(x=x)=0.

rozdělení spojitého typu, jestli-že existuje nezáporná funkce f(x), taková, že pro " x Îr platí, že distribuční fce.

 


                           

 

 

,kde  f(t),  je hustota pravděpodobnosti.

distribuční fce. je spojitá

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


56. vlastnosti hustoty pravděpodobnosti spojité np.

Snp má nespočetné množství hodnot tj. p(x=x)=0.

rozdělení spojitého typu, jestli-že existuje nezáporná funkce f(x), taková, že pro " x Îr platí, že distribuční fce.

 


                           

 

 

,kde  f(t),  je hustota pravděpodobnosti.

distribuční fce. je spojitá

 

 

 

 

 

 

 

 

 


57. rovnoměrné rozdělení spojité np.

se nazývá takové rozdělení, kdy hustota pravděpodobnosti  f(x)=k (konstantě) pro xÎ(a,b) určitého intervalu a f(x)=0 pro ostatní x.

58. normální rozdělení-obecný tvar.

(Gausovo rozdělení), jev závisí NA mnoha drobných vlivech. snp x má normální rozdělení s parametry m a s2, kde m je libovolné číslo a s2>0.

jestli-že pro hustotu pravděpodobnosti platí:

 

 

 

 


Označíme jej jako normované rozdělení s parametry …

n(m, s2), kde s2…rozptyl; m…střední hodnota.

59. normované normální rozdělení.

je standartizované rozdělení, kde rozptyl s2=1;

střední hodnota m=0. potom hustota pravděpodobnosti:

 

 

 

 

 

 

 

 

hodnoty j(x) jsou v tabulkách pro  xÎr.

f(x)..tabelovány jen pro x ³0,pro x <0 platí f(-x)=1-f(x).

60. vztah mezi obecným a normovaným normálním rozdělením.

každé obecné normální rozdělení lze převést NA normované normální rozdělení  substitucí.

n(m, s2), kde s2…rozptyl; m…střední hodnota.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


61. r-tý počáteční moment náhodné veličiny.

je střední hodnota r-té mocniny náhodné proměnné np.

pro r=1 je první moment roven střední hodnotě e(x), což je „matematická naděje

62. r-tý centrální moment náhodné veličiny.

np x  má střed e(x)=m.

 

 

 

 

 

 


u1=0;  u2=D(x)=s2…rozpltyl.

63. normované momenty r-tého stupně.

jsou to střední hodnoty mocnin np.

 

 

 

 

 

 

 

 

           koeficient šikmosti

 

           koeficient koncentrace (špičaté nebo ploché rozdělení).

 

64. charakteristiky polohy a rozptylu.

charakteristiky polohy

charakterizují střed.                  nejčastěji používáme: u=e(x)

 

 

charakteristiky variability (rozptýlení)

 

 

charakterizováno nejčastěji rozptylem d(x)=u2, nebo směrodatnou odchylkou (s)…průměrná odchylka.

 

65. charakteristiky šikmosti a špičatosti.

charakteristika šikmosti:

 

 

používáme koeficient šikmosti (asymetrie)

 

 

 


a=0 Þsymetrické (souměrné dle střední hodnoty)

charakteristika špičatosti:

stejné   m, s

 


koeficient koncentrace (nahuštění)…           charakterizuje ho, kolem  m.

 

koeficien excesu:

 

u normálního rozdělení je e=0

pro e>0 je graf užší a vyšší;   pro e<0 je naopak plochý a nižší.

66. výběrové statistiky.

 

charakteristiky polohy:

 

aritmetický průměr

x….nabývá  x1…xn  

 

 

 


roztříděný soubor, R-tříd                   

 

 

modus          hodnota s maximální četností

 


geometrický průměr:

 

charakteristiky rozptylu:

 

empirický rozptyl…

 


empirická směrodatná odchylka…

 

průměrná odchylka…