1. ELIMINAČNÍ METODA ŘEŠENÍ SOUSTAVY DVOU

DR 1.ŘÁDU

 

Př.:        HLEDÁM FUNKCE:

Z PRVNÍ ROVNICE SI VYJÁDŘÍM NEZNÁMOU (Y), TU ZDERIVUJI () A DOSADÍM DO DRUHÉ ROVNICE, PAK ŘEŠÍIM LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY A PRAVOU STRANOU. VYŘEŠÍM HOMOGENNÍ ROVNICI, PAK HLEDÁM PARTIKULÁRNÍ VE TVARU PRAVÉ STRANY. OBECNÉ ŘEŠENÍ MÁ PAK TVAR .

2. SOUSTAVA LDR 1. ŘÁDU, OBECNÝ TVAR, NEHOMOGENNÍ SOUSTAVA

OBECNÝ TVAR:                                                                       

 

 

 

 

 

 

 


HLEDÁM  FCE:

ZJEDNODUŠENÝ ZÁPIS:

 

 

 


- JE-LI ASPOŇ JEDNA FUNKCE                       ,PAK SE JEDNÁ O NEHOMOGENNÍ SOUSTAVU (JAKOBY  S  PRAVOU STANOU)

3. SOUSTAVA LDR 1. ŘÁDU, SOUSTAVA S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY, HOMOGENNÍ SOUSTAVA.

OBECNÝ TVAR:                                                                      

 

 

 

 

 

 


HLEDÁM  FCE:

ZJEDNODUŠENÝ ZÁPIS:

 

 

 


POKUD JSOU VŠECHNY FUNKCE `F(x)=`o(homogenní) A VŠECHNY KOEFICIENTY A(X)=A (KONSTANTNÍ), tj. `Y¢=A`Y, KDE A JE REÁLNÁ ČTVERCOVÁ MATICE, JEDNÁ SE O HOMOGENNÍ SOUSTAVU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY.

4. NEZÁVISLÁ ŘEŠENÍ SOUSTAVY LDR.

ŘEŠENÍM Y1, Y2, … , Yn   SOUSTAVY NA INTERVALU  I  NAZÝVÁME NEZÁVISLÝMI ŘEŠENÍMI, JSOU-LI VEKTORY      `Y1, `Y2, … , `Yn  LINEÁRNĚ NEZÁVISLÉ . FUNDAMENTÁLNÍ SYSTÉM ŘEŠENÍ SOUSTAVY (BÁZE ŘEŠENÍ) JE KAŽDÝ SYSTÉM n  LINEÁRNĚ NEZÁVISLÝCH ŘEŠENÍ.

5. HOMOGENNÍ SOUSTAVA LDR, LINEÁRNĚ NEZÁVISLÁ ŘEŠENÍ (OBECNĚ)

OBECNÝ TVAR `Y¢=A`Y; EVIDENTNĚ JE ŘEŠENÍM VEKTOR `Y=`o (TRIVIÁLNÍ, NULOVÉ ŘEŠENÍ). JSOU-LI VEKTOROVÉ FCE. `Y1= (Y11, Y21, … , Yn1)T….. `Yn= (Y1n, Y2n, … , Ynn)T ŘEŠENÍM SOUSTAVY  Y¢=A`Y NA  I1, PAK JE ŘEŠENÍM I JEJICH LINEÁRNÍ KOMBINACE

`Y= C1 `Y1 +C2 `Y2 +…..+Cn `Yn , KDE (C1, C2,…. Cn) JSOU KONSTANTY.

ŘEŠENÍ `Y1,`Y2`Yn, JSOU LINEÁRNĚ NEZÁVISLÁ, TZN. TVOŘÍ FUNDAMENTÁLNÍ SYSTÉM, POKUD ALESPOŇ PRO JEDNO XÎI1  JE DET(`Y1,`Y2`Yn) ¹ 0.

 


6. PRINCIP LAGRANGEOVY METODY VARIACE KONSTANT ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ  SOUSTAVY  LDR.

TVAR SOUSTAVY`Y¢ =A`Y +`F (TZN. S PRAVOU STRANOU)

-  NEJPRVE VYŘEŠÍME HOMOGENNÍ SOUSTAVU

- ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ SOUSTAVY BUDEME HLEDAT VE TVARU `Y=C1(x) `Y1+ C2(x) `Y2+….+ Cn(x) `Yn

- DOSAZENÍM DO SOUSTAVY DOSTANU SOUSTAVU PRO C1¢(x), C2¢(x),…. Cn¢(x), KTERÉ INTEGRUJU.

POZN.: (TUTÉŽ NEHOMOGENNÍ SOUSTAVU LZE ŘEŠIT PŘEVODEM NA LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY).

 

 

7. PRINCIP EULEROVY METODY ŘEŠENÍ HOMOGENNÍ SOUSTAVY LDR 1. ŘÁDU

HOMOGENNÍ SOUSTAVA S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY MÁ NENULOVÉ ŘEŠENÍ VE TVARU `Y=(a1erx, a2erx,… anerx), KDE a1, a2,… an  , r  JSOU  KONSTANTY.

DET(A-rE)®(CHARAKTERISTICKÝ DETERMINANT MATICE A), VYŘEŠENÍM CHAR. ROVNICE DET(A-rE)=0 MATICE A (SOUSTAVY) HLEDÁM n-KOŘENÚ (MOHOU BÝT KOMPLEXNÍ).

 

 

8. CHARAKTERISTICKÝ DETERMINANT MATICE SOUSTAVY LDR 1. ŘÁDU

CHARAKTERISTICKÝ DETERMINANT MATICE SOUSTAVY:

                      ® DET(A-rE); VYŘEŠENÍM CHAR.

 

 

 

 

 

ROVNICE DET(A-rE)=0 MATICE A (SOUSTAVY) HLEDÁM n-KOŘENÚ (MOHOU BÝT KOMPLEXNÍ).

9. VLASTNÍ HODNOTY MATICE SOUSTAVY LDR 1. ŘÁDU

- JSOU TO KOŘENY  r1,r2,…,rn  Z CHARAKTERISTICKÉ ROVNICE DET(A-rE)=0 MATICE A (SOUSTAVY).

10. VLASTNÍ VEKTORYY MATICE SOUSTAVY LDR 1. ŘÁDU

PO VYPOČTENÍ KOŘENÚ r1,r2,…,rn  Z CHARAKTERISTICKÉ ROVNICE DET(A-rE)=0 MATICE A (SOUSTAVY), HLEDÁM ŘEŠENÍ PRO

                                                   a1

NALEZENÁ r: r`a=A`a, KDE`a= a ®JSOU VLAST. VEKTORY                     :      MATICE A

                                                   an

tzn.  ŘEŠÍM SOUSTAVU  (A-rE)`a = `o

POKUD h(A)<n ®`a…NEKONEČNĚ MNOHO A LZE VYBRAT n-LINEÁRNĚ NEZÁVISLÝCH ŘEŠENÍ.

11. FUNDAMENTÁLNÍ SYSTÉM ŘEŠENÍ SOUSTAVY LDR 1. ŘÁDU PRO REÁLNÉ RÚZNÉ VLASTNÍ HODNOTY CHARAKTERISTICKÉ ROVNICE.

MATICE A MÁ VLASTNÍ HODNOTY  r1,r2,….,rn(REÁLNÉ RÚZNÉ). JIM ODPOV´DÁ n- CHARAKTERISTICKÝCH VEKTORÚ `a1,`a2,….,`an. FUNDAMENTÁLNÍ SYSTÉM ŘEŠENÍ HOMOGENNÍ SOUSTAVY `Y¢=A`Y TVOŘÍ VEKTOROVÉ FUNKCE `Y1=a1er1x, `Y2=a2er2x,…. `Yn=anernx.

OBECNÉ ŘEŠENÍ JE LINEÁRNÍ KOMBINACÍ FUNDAMENTÁLNÍHO SYSTÉMU `Y= C1`Y1+ C2`Y2+…+Cn`Yn.   

12. FUNDAMENTÁLNÍ SYSTÉM ŘEŠENÍ SOUSTAVY LDR 1. ŘÁDU PRO REÁLNOU NÁSOBNOU VLASTNÍ HODNOTU CHARAKTERIST. ROVNICE.

PŘÍPAD KDY CHARAKTERISTICKÉ ČÍSLO r JE k-NÁSOBNÉ. PAK EXISTUJE k-RÚZNÝCH ŘEŠENÍ HOMOGENNÍ SOUSTAVY `Y¢ =A`Y VE TVARU Y1= P1(x)erx, Y2= P2(x)erx,…., Yn= Pn(x)erx, KDE P1, P2,…., Pn-JSOU POLYNOMY STUPNĚ k-1 : Pi(x)=b0+b1x+b2x2+…+bk-1xk-1, KDE b0, b1,…, bk-1 , TJ. k-KOEFICIENT. PRO VLASTNÍ HODNOTU r DOSTANEME k-NEZÁVISLÝCH ŘEŠENÍ `Y1,`Y2,…,`Yk.

13. FUNDAMENTÁLNÍ SYSTÉM ŘEŠENÍ SOUSTAVY LDR 1. ŘÁDU PRO JEDNODUCHÉ KOMLEXNÍ VLASTNÍ HODNOTY CHARAKTERIST. ROVNICE.

KOMPLEXNNĚ SDRUŽENÝ KOŘEN: r = a ± ib.

ŘEŠENÍM BUDE KOMPLEXNÍ FCE. REÁLNÉ PROMĚNNÉ: `Y=`aerx=`ae(a±ib)x ; EULERÚV VYOREC:        eij=COS j + i SIN j

               e-ij=COS j - i SIN j

`Y=`aeax(COS bx ± i SIN bx )

JE-LI ŘEŠENÍM SOUSTAVY LDR KOMPLEXNÍ FCE. `Z(x)=`U(x) + i`V(x) =(u1 + iv1, u2 + iv2,…., un + ivn)T, PAK MÁ ROVNICE I KOMPLEXNĚ SDRUŽENÉ ŘEŠENÍ `Z(x)=`U(x) - i`V(x) A ŘEŠENÍM UVEDENÉ SOUSTAVY JE ROVNĚŽ n-TICE REÁLNÝCH SLOŽEK`Z(x):Re (`Z(x))=( u1, u2,…, un)T  A n-TICE IMAGINÁRNÍCH SLOŽEK`Z(x): Im (`Z(x))=( v1, v2,…, vn)T.

14. DEFINICE DVOJNÉHO INTEGRÁLU NA PRAVOÚHELNÍKU.

FUNKCE z = f(x,y)  MUSÍ BÝT V OBDÉLNÍKU  D={(x,y): xÎáa,bñ; yÎác,dñ} SPOJITÉ. INTERVALY áa,bñ;ác,dñ DVĚMA POSLOUPNOSTmi bodů a = x0< x1< x2<… xm=b; c = y0< y1< y2<… yn=d NA INTERVALY áxi-1,xiñ,i=1,2,…,m; áyj-1, yjñ,j=1,2,…,n. OZNAČÍME Dxi=xi-xi-1, Dyj=yj-yj-1. ROVNOBĚŽKY S OSOU Y VEDENÉ BODY xi A ROVNOBĚŽKY S OSOU X VEDENÉ BODY yj DĚLÍ OBDÉLNÍK D NA m*n OBDÉLNÍKÚ, KTERÉ OZNAČÍME Dij A PRO JEJICHŽ OBSAH PLATÍ DDij=Dxi*Dyj. PAK V KAŽDÉM OBD. Dij ZVOLÍME BOD (Ji,hj) A URČÍME z=f(Ji,hj). SOUČIN f(Ji,hj)* Dxi*Dyj PAK ZNAMENÁ OBJEM HRANOLÚ O ZÁKLADNĚ Dij A VÝŠCE f(Ji,hj).

 


VYTVOŘÍME SOUČTY              f(Ji,hj) Dxi*Dyj. JESTLI-ŽE PRO

 

m®¥, n®¥ A Dxi®0, Dyj ®0, PRO VŠECHNA i=1,2,…, j=1,2,…,

 

EXISTUJE lim             f(Ji,hj) Dxi*Dyj,  PRO m®¥, n®¥ A Dxi®0,

 

Dyj ®0, PAK JI NAZVEME DVOJNÝM INTEGRÁLEM  FUNKCE f(x,y) V OBDÉLNÍKU D A OZNAČÍME     

 

 

 

15. DITRICHLETOVA VĚTA PRO VÝPOČET DVOJNÉHO INTEGRÁLU NA PRAVOÚHELNÍKU.

DITRICHLETOVA VĚTA převádí DVOJNý INTEGRÁL NA dvojnásobný INTEGRÁL.

JE-LI FCE. SPOJITÁ NA UZAVŘENÉM PRAVOÚHELNÍKU D={(x,y): xÎáa,bñ; yÎác,dñ}, PAK PLATÍ:

 

 

 

 

 

častěji píšeme: 

 

 

 

16. normální oblast k ose x.

je uzavřená oblast w, která obsahuje body [x,y], pro které platí  a £ x £ b;  d(x)£y£h(x), KDE d(x)-DOLNÍ HRANIČNÍ KŘIVKA A h(x)-HORNÍ HRANIČNÍ KŘIVKA

17. normální oblast k ose Y.

je uzavřená oblast w, která obsahuje body [x,y], pro které platí  c £ x £ d;  l(y)£x£p(y), KDE l(y)-levá HRANIČNÍ KŘIVKA A p(y)-pravá HRANIČNÍ KŘIVKA.

18. fubiniova věta pro výpočet dvojného integrálu NA uzavřené oblasti.

JE-LI FCE. Spojitá NA oblasti w, ktará je normální k ose Ox,

 


pak platí:

 

 

W uzavřu do D={(x,y): xÎáa,bñ; yÎác,dñ}Þ W £ d


definujeme funkci  F(x,y) =                      f(x,y) ;[x,y]Î W

↓0  PRO [x,y]Î D-W

 

EVIDENTNĚ:

 

 

 

ANALOGICKY PRO OBLAST w NORMÁLNÍ K Oy.

 

19. výpočet dvojného integrálu TRANSFORMACÍ DO POLÁRNÍCH SOUŘADNIC

KAŽDÉMU BODU P=[X,Y] ODPOVÍDÁ V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH BOD P=[r,j], KDE r JE VZDÁLENOST BODU P OD POČÁTKU A j JE ÚHEL, KTERÝ SVÍRÁ PRÚVODIČ r S PEVNÝM SMĚREM(OSA X).

tRANSFORMAČNÍ ROVNICE: COSj=X/r; SINj=Y/r ÞX=r COSj; Y=r SINj.

 

 

 


                                                                      

 

 

,kde J je jakobián zobrazení, j=r*drdj. UŽITÍ POKUD w JE KRUŽNICE, NEBO JEJÍ ČÁST (POPŘ. ELIPSA®ZOBECNĚNÉ P. S.).

20. JAKOBIÁN ZOBRAZENÍ. ODVOĎTE TRANSFORMACI DO POLÁRNÍCH SOUŘADNIC.

JAKOBIÁN ZOBRAZENÍ:          PRO POLÁRNÍ SOUŘADNICE:

                                                                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

                                              

 

 

 

W*  r1£r£r2; 0£j£2p

21. TRANSFORMACE DO ZOBECNĚNÝCH POLÁRNÍCH SOUŘADNIC.

UŽITÍ POKUD JE OBLAST w ELIPSA NEBO JEJÍ ČÁST

VHODNÁ TRANSFORMACE:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22. výpočet objemu kolmého válce nad oblastí (pomocí dvojného integrálu).

m=rV, pokud hustota r=konst., PAK m=V.

oblastí je kružnice,proto je vhodné použít TRANSFORMACI DO POLÁRNÍCH SOUŘADNIC.  W*  0£r£r; 0£j£2p

 

 

 

 

 

 

 

 

 


23. výpočet obsahu regulární rovinné oblasti (pomocí dvojného integrálu).

m=rV, pokud hustota r=konst., PAK m=V, A pokud f(x,y)=1®PAK OBJEM KOLMÉHO TĚLESA O VÝŠCE z=1 JE ROVEN OBSAHU JEHO PODSTAVY. (PRO KRUH, POPŘ. ELIPSU NEBO JEICH ČÁSTI LZE POUŽÍT TRANSFORMACI DO P. S.).

24. výpočet obsahu ÚSEKU PLOCHY NAD oblastÍ (pomocí dvojného integrálu).

UŽITÍ PŘI VÝPOČTU POVRCHU ČÁSTI TĚLESA (PLOCHY z=f(x,y) VYŤATÉ JINÝM PRVKEM (VÁLCEM APOD.).

                                                       

 

 

 

 - LZE VYUŽÍT TRANSFORMACE DO P.S.

POKUD JE MÍSTO DO PÚDORYSNY OXY LEPŠÍ POUŽÍT PROMÍTNUTÍ OBLASTI w DO JINÉ ROVINY NAPŘ. Oyz, PAK x=f(y,z), PAK

                                                                      

 

 

 

 

- Analogicky pro PROMÍTNUTÍ

OBLASTI w DO JINÉ ROVINY NAPŘ. Oxz, PAK y=f(x,z).

25. výpočet souŘADNIC TĚŽIŠTĚ regulární oblasti (pomocí dvojného integrálu).

SOUŘADNICE TĚŽIŠTĚ T=[XT,YT];  XT=Sy/m, yT=Sx/m, KDE S JE STATICKÝ MOMENT OBLASTI (TĚLESA) K Ox,Oy  A m JE HMOTNOST (RESP. OBSAH DANÉ OBLASTI).

 

 

 

 


h(x,y)…HUSTOTA; dxdy…PLOCHA; y,x…VZDÁLENOST OD Ox,Oy, POKUD JE HUSTOTA h(x,y) KONSTANTNÍ, JE HMOTNOST OBLASTI w ROVNA JEJÍ PLOŠE.

26. výpočet MOMENTÚ SETRVAČNOSTI regulární oblasti (pomocí dvojného integrálu).

JE TO MÍRA SCHOPNOSTI TĚLESA ROTOVAT.  dI=r2dm.

MOMENT SETRVAČNOSTI k ose OX:

 

 

 

 

 

 

 


ELEMENT HMOTNOSTI                                  , KDE h(x,y) … HUSTOTA; dxdy…PLOCHA; y,x…VZDÁLENOST OD Ox,Oy.

27. DEFINICE TROJNÉHO INTEGRÁLU NA PRAVOÚHELNÍKU.

FUNKCE u = f(x,y,z)  MUSÍ BÝT NA KVÁDRU G={(x,y,z): xÎáa,bñ; yÎác,dñ; zÎáe,fñ;} SPOJITÁ. ROZDĚLÍME INTERVALY áa,bñ;ác,dñ;áe,fñ TŘEMI POSLOUPNOSTmi bodů a = x0< x1< x2<… xm=b; c = y0< y1< y2<… yn=d; e = z0< z1< z2<… zp=f NA INTERVALY áxi-1,xiñ,i=1,2,…,m; áyj-1, yjñ,j=1,2,…,n; ázk-1, zkñ,k=1,2,…,p. OZNAČÍME Dxi=xi-xi-1, Dyj=yj-yj-1, Dzk=zk-zk-1. ROVINY VEDENÉ BODY xi, yj zk, S ROVINAMI OS yz, xz, xy ROZDĚLÍ KVÁDR G NA m*n*p KVÁDRÚ, KTERÉ OZNAČÍME Gijk A PRO JEJICHŽ OBJEM PLATÍ DGijk=Dxi*Dyj*Dzk PAK V KAŽDÉM KVÁDRU Gijk ZVOLÍME BOD (Ji ,hj ,zk) A VYTVOŘÍME SOUČINY f(Ji ,hj ,zk) * Dxi*Dyj*Dzk , KTERÉ PAK ZNAMENAJÍ HMOTNOSTI KVÁDRU Gijk O HUSTOTĚ  f(Ji ,hj ,zk).

VYTVOŘÍME SOUČTY                        f(Ji ,hj ,zk) * Dxi*Dyj*Dzk.

 

JESTLI-ŽE PRO m®¥, n®¥, p®¥ A Dxi®0, Dyj ®0,  Dzk®0  PRO VŠECHNA i=1,2,…, j=1,2,…, k=1,2,…, EXISTUJE

 


Lim                     f(Ji ,hj ,zk) * Dxi*Dyj*Dzk PRO m®¥, n®¥, p®¥ A

 

Dxi®0, Dyj®0, Dzk®0, PAK JI NAZVEME TROJNÝM INTEGRÁLEM. FUNKCE f(x,y,z) V KVÁDRU G A OZNAČÍME

                       

 

 

28. DITRICHLETOVA VĚTA PRO VÝPOČET TROJNÉHO INTEGRÁLU NA PRAVOÚHELNÍKU.

DITRICHLETOVA VĚTA převádí TROJNý INTEGRÁL NA TRojnásobný INTEGRÁL.

JE-LI FCE. SPOJITÁ NA UZAVŘENÉM PRAVOÚHELNÍKU G={(x,y,z): xÎáa,bñ; yÎác,dñ; zÎáe,fñ;}

PAK PLATÍ:

 

 

 

 


29. normální oblast k ROVINĚ Oxy.

je uzavřená oblast W, JEJÍŽ HRANIČNÍ PLOCHA LZE VYJÁDŘIT ROVNICEMI Z=Z1(x,y)  A  Z=Z2(x,y), kde platí Z1(x,y)  £ Z2(x,y), pro každý bod [x,y]ÎW1, KDE W1 JE PRÚNIK W DO ROVINY Oxy. KDE Z1(x,y)  JE DOLNÍ HRANIČNÍ PLOCHA  A Z2(x,y) HORNÍ HRANIČNÍ PLOCHA.

30. normální oblast k ROVINĚ Oxz.

je uzavřená oblast W, JEJÍŽ HRANIČNÍ PLOCHA LZE VYJÁDŘIT ROVNICEMI Y=Y1(x,z)  A  Y=Y2(x,z), kde platí Y1(x,z)  £ Y2(x,z), pro každý bod [x,Z]ÎW3, KDE W3 JE PRÚNIK W DO ROVINY Oxz. KDE Y1(x,z)  JE DOLNÍ HRANIČNÍ PLOCHA  A Y2(x,z) HORNÍ HRANIČNÍ PLOCHA.

31. normální oblast k ROVINĚ Oyz.

je uzavřená oblast W, JEJÍŽ HRANIČNÍ PLOCHA LZE VYJÁDŘIT ROVNICEMI X=X1(y,z)  A  X=X2(y,z), kde platí X1(y,z)  £ X2(y,z), pro každý bod [y,z]ÎW2, KDE W2 JE PRÚNIK W DO ROVINY Oyz. KDE X1(y,z)  JE DOLNÍ HRANIČNÍ PLOCHA  A X2(y,z) HORNÍ HRANIČNÍ PLOCHA.

 

32. fubiniova věta pro výpočet trojného integrálu NA uzavřené oblasti.

NECHŤ JE f(x,y,z) SPOJITÁ NA OBLASTI  W, KTERá JE NORMáLNí K Oxy Z1(x,y)  £ Z£ Z2(x,y) PRO KAŽDÝ BOD [x,y]ÎW1, KDE W1 JE PRÚNIK W DO ROVINY Oxy A JE REGULÁRNÍ K Ox. Þ a1£x£ a2;   y1(x) £y£  y2(x), PAK

 


PLATÍ:

 

 

 


33. výpočet TRojného integrálu TRANSFORMACÍ DO CYLINDRICKÝCH SOUŘADNIC.

KAŽDÉMU BODU P=[X,Y,Z] ODPOVÍDÁ V CYLINDRICKÝCH SOUŘADNICÍCH BOD P=[r,j,Z], KDE r JE VZDÁLENOST BODU P OD POČÁTKU(V PÚDORYSU) A j JE ÚHEL, KTERÝ SVÍRÁ PRÚVODIČ r S PEVNÝM SMĚREM(OSA X), Z JE VÝŠKA BODU P NAD PÚDORYSEM.

tRANSFORMAČNÍ ROVNICE: COSj=X/r; SINj=Y/r ÞX=r COSj; Y=r SINj.

 

 

 

                                                                      

,

kde J je jakobián zobrazení, UŽITÍ POKUD W JE KRUŽNICE, NEBO JEJÍ ČÁST (POPŘ. ELIPSA®ZOBECNĚNÉ P. S.).

34. výpočet TRojného integrálu TRANSFORMACÍ DO SFÉRICKÝCH SOUŘADNIC.

TRANSFORMUJEME SOUŘADNICE BODÚ LEŽÍCÍCH NA KOULI. ČASTÉ UŽITÍ V ASTRONOMII, GEOLOGII, ZEMĚPIS. VHODNÉ POUŽITÍ, KDYŽ OBLASTÍ W BUDE KOULE NEBO JEJÍ ČÁST. BOD LEŽÍCÍ NA KOULI MÁ ROVNICI x2+ y2+z2 = r2 ; j…ORIENTOVANÝ ÚHEL OD Ox; u… ORIENTOVANÝ ÚHEL OD Oz, PAK X=r1COSj,  Y=r1SINj, Z=rCOSu, r1=rSINu®    X=rCOSj SINu, Y=rSINj SINu, Z=rCOSu, KDE r³0; 0£j£2p;  0£u£p. OBECNĚ PAK PLATÍ:

 

 

 

 

 


KDE  J  JE JAKOBIÁN ZOBRAZENÍ  |J|=r2SINudrdjdu.