44. Integrace diferenciální rovnice ohybové čáry stat. neurčitých nosníků

Použitelná pro: čtyři případy – spojitě zatížená podepřená konzola, vetknutí na obou stranách, trojúhelník…

Vycházíme ze Schwedlerových vztahů:

w=?

w‘=fí

w‘‘=-My

w‘‘‘=-Vz

w‘‘‘‘=q

Nutná čtyřnásobná integrace

Čtyři neznámé C1, C2, C3, C4 – okrajové podmínky deformační a statické

volný okraj, podepřený, vetknutí…

45. Výpočet stat. neurčitých nosníků silovou metodou

Princip silové metody – superpozice – rozklad – uvolněním přebytečné vazby vznikne staticky určitá soustava – zvolena i stat. neurčitá veličina – např. moment ve vetknutí…

Deformační podmínka – fí = 0, fíb=fíbM+fíbq

Superponované veličiny pak lze určit metodami pro stat. určité nosníky. – přímá integrace, Clebsch Mohr

46. Vliv smyku na přetvoření ohýbaného nosníku

EIy=konst.

Pro spojitě zatíženou vetknutou konzoluwmax = 1/8*ql4/EI

Hookova zákonu ve smyku plyne: gama xz=Tau xz/G

Smykové napětí – Tau xz=Vz/A*(redukovaná průřezová plocha – smyková)

Obdélník 0,833A

I profil – Aw

Kruh – 0,844A

Mezikruží 0,5A

Pootočení vlivem smyku – gama xz= Vz/G*A = pootočení vlivem smyku

wmax = 1/8*ql4/EI + ½*ql2/GA*

 

Konzola zatížená osamělou silouwmax= 1/3 * Fl3/EI+Fl/GA*

Spojitě zatížený prut podepřený na koncíchwmax = 5/384*ql4/EI + 1/8*ql2/GA*

Prut zatížený uprostřed osamělou silou – 1/48*Fl3/EI + ¼*Fl/GA*

Čím štíhlejší nosník, tím menší vliv smyku – l = rozpětí, h = výška nosníku.

l/h=10 – 10%

l/h=20 – 2,5%

l/h>20 – lze zanedbat

47. Napětí v šikmém řezu vlivem rovinné napjatosti

 

                                                                                                                               

 

 

 

                                                                                                                    

 

 

 

 

 

 

48. Výpočet hlavních napětí při rovinné napjatosti, jejich směry

Tau alfa = -1/2*(sigma x-sigma y)*sin2alfa+Tau xy*cos2alfa

alfa1 = ½ arctan(2Tau xy/sigma x-sigma y)

alfa 2 = alfa1+-90

sigma 1,2 = ½(sigma x+sigma y)+-1/2sqrt((sigma x – sigma y)2+4Tau xy2))

Tau extr = +-1/2*(sigma1-sigma2)

alfa extr = a1+-45

 

50. Vybrané případy rovinné napjatosti - osová napjatost, čistý smyk, všesměrný tah nebo tlak

 

a)      Přímková (osová) napjatost:

sigma x se nerovná 0

sigma y = Tau xy = Tau yz = 0

 

Napjatost v šikmém řezu

sigma alfa = sigma x*cos na druhou * alfa

Tau alfa = - sigma x * sin alfa * cos alfa

Výsledná hlavní napětí

sigma1 = sigma x

sigma 2 = 0

Tau max/min = +-sigma x/2

b)      Prostý, čistý smyk

sigma x = sigma y = 0

Tau xy = Tau yx nerovná se 0

Napjatost v šikmém řezu

sigma alfa = Tau xy*sin 2alfa

Tau alfa = Tau xy*cos2alfa

Výsledná hlavní napětí

sigma 1 = sigma 2 = +-Tau xy

alfa 1,2 = +-45

Tau max/min = +-Tau xy

c)       Všesměrný tah/tlak

sigma x = sigma y = sigma nerovná se 0

Tau xy = Tau yz = 0

Napjatost v šikmém řezu

sigma alfa = sigma(cos nadruhou alfa + sin nadruhou alfa) = sigma

Tau alfa = -1/2*(sigma – sigma)*sin2a = 0

Výsledná hlavní napětí

sigma 1 = sigma 2 = sigma

Tau max/min = 0

Nevznikají smyková napětí, normálové napětí ve všech směrech shodné

 

51. Trajektorie hlavních napětí

 

Křivky, které v každém bodě sledují směr hlavních napětí

Tah, ohyb, kroucení

Tah – v místech, kde nedochází ke koncentraci napětí, jsou trajektorie hlavních napětí kolmé, rovnoběžné k ose prutu.

Ohyb – příčná napětí kolmá k ose nosníku většinou nehrají roli, smyková napětí jsou na okrajích nulová, hlavní napětí jsou s okraji rovnoběžná a kolmá, na neutrálné ose je čistý smyk.

Kroucení – V rovině tečné k válci vzniká čistý smyk, ve směru otočeném o 45 vznikají hlavní napětí – tah a tlak

52. Kritéria pevnosti a plasticity u rovinné napjatosti oceli

 

 

 

 

 
Misesova podmínky plasticity

Čistý smyk=sqrt3, čistý tah - sigma x menší rovna ABS Fy,

Elipsa pootočená o 45, okraj F=0 – zplastizování, F<0 – vnitřek oblasti, Fy/-Fy – průsečíky s osami.

osy sigma 1 = x, sigma 2 = y, čistý smyk – osa 2. a 4. kvadrantu. čistý smyk, průsečík elipsy – jeho vzdálenost od osy x je fy/sqrt3

polovina hlavní osy eplipsy = sqrt 2*fy

polovina pomocné osy – sqrt2/sqrt3*fy

 

Trescova podmínka plasticity

Nebo-li podmínka max. smykových napětí, pro materiál se stejnou pevností v tahu i tlaku, konzervativnější než Misesovo kritérium sigma 1 větší rovna sigma 2

čistý tah sigma x menší rovna fy

čistý smyk ABS Tau xy menší rovna fy/2

čtverce se stranou fy v 1. a 3. kvadrantu.  čistý smyk osa 2. a 4. kvadrantu. čistý smyk vzdálen od osy x fy/2. x=sigma 1 y= sigma 2

 

53. Kritéria pevnosti a plasticity u rovinné napjatosti materiálu s různou pevností v tahu a tlaku

 

Mohrova teorie porušení při vícenásobné napjatosti

Kritéria pevnosti pro materiály s různou pevností v tahu a tlaku např. beton

Nebere ohled na sigma 2

Rovnice mezní obálky (ft-sigma)na druhou = kTau3 k – konstanta určená zkouškami… x=sigma, y=Tau.

Dvě kružnice v 1. a 4 kvadrantu. Střed na ose x. tah vlevo od osy y tlak napravo od osy y--- obálka – tečny kružnice přesahující přes osu y

fc – osa y až sigma 1

ft osa y až přesah přes y – prostý tam. sigma 1, sigma 3 – hranice větší kružnice… - obecná mohrova kružnice

Pevnost betonu při rovinné napjatosti –

útvar hlavní část ve 3. kvadrantu, zobáček do 1. kvadrantu. přesah zobáčku v 1. kvadrantu – ft, fc = průsečík oblasti s osami – střed soustavy

sigma 1 > sigma 2 Aproximace mezní pevnosti betonu při rovinné napjatosti…  

 

54. Porušení křehkým lomem, únava materiálu

 

1)      křehký lom – u kovů při nízkých teplotách a koncentraci napětí

osa x = t

osa y  = sigma – čtyřikrát sinusovka. … r=0, r=-1 r=+-infty, amplituda = delta sigma sigma min = vertikální vzdálenost od spodního okraje sinusovky a osy x.

První dvě začátek jako sinus, další dvě začátek jako cos.

2)      únava materiálu cyklická únava – proměnné napětí v cyklech

Rozkmit – delta sigma = sigma max  - sigma min

součinitel nesymetričnosti cyklu r=sigma min/sigma max

wohlerova křivka: x=N počet cyklů, y=delta sigma. lim = delta sigma L… hyperbola protne y a pokračuje vpravo směrem k lim…

55. Eulerovo řešení stability přímého pružného prutu – kritické břemeno

 

Stabilita – schopnost zachovat nebo obnovit původní rovnovážný stav soustavy bez samovolného narůstání deformací

Stabilní stav – F<Fcr – prut se navátí do původní polohy

Indiferentní – mezilehlý, teoretický stav – prut zůstává vychýlen ale deformace již nerostou

Nestabilní stav – samovolný nárůst deformací

Předpoklady Eulerova řešení – ideálně pružný materiál, prut je přímý, tlaková síla působící v ose prutu, deformace jsou řádově menší než délka prutu (teorie malých deformací), stat. účinky se vyšetřují na zdeformovaném prutu (teorie II. řádu)

1)      prut oboustranně kloubově uložený beta = 1

2)      konzolový prut beta = 2

3)      prut jednostranně vetknutý beta = 0,7

4)      prut oboustranně vetknutý beta = 0,5

Fcr = pí2*(EI)/(Beta*l)2

Lcr = Beta * l

Lcr – vzpěrná délka je rovna délce sinusové půlvlny ohybové čáry po vybočení – vzdálenost inflexních bodů

56. Eulerovo řešení stability přímého pružného prutu – kritické napětí

 

sigma cr= Fcr/A

Fcr = pí 2*EI/Lcr2

sigma cr = pí2*E/gama 2

lambda = Lcr/i štíhlost prutu

i = sqrt(I/A) poloměr setrvačnosti

Eulerova hyperbola E=210 000 MPa

 

x=lambda, lambda pr, 2 lambda pr

y=sigma cr, fy, f pr

pod osou vzpěrná pevnost…

lambda pr = pí* sqrt (E/fpr)

křivka AC: Engesser-Shanleyovo krit. napětí:

sigma cr = fy/(1+(fy/fpr-1)*(lambda/lambda pr)2)) f pr – napětí na mezi úměrnosti

59. Posudek ocelových prutů na vzpěr:

 

N Sd menší rovno N Rd = řecké x*A*fyk/gama M0 řecké x – součinitel vzpěrnosti – tabulková hodnota

 

60. Průřezové charakteristiky

 

a)      masivní průřezy

b)      tenkostěnné průřezy

c)       tenkostěnné otevřené průřezy

Hlavní charakteristiky –

jednotlivé rozměry – mm

plocha průřezu – mm2

těžiště

osy setrvačnosti

polární momenty setrvačnosti Ip, moment tuhosti v kroucení It, průřezový modul v kroucení Wt, ohybu Wy

hodnoty uvedeny například v tabulce válcovaných profilů

obdélníkIt = alfa*b3*h

                Wt = beta * b2*h

                Iy = 1/12*b*h3

                Wy = 1/6*b*h2

alfa beta – součinitele v tabulce podle poměru h/b

kruh – It = Ip = pí*d4/32

                Wt = pí*d3/16

rovnostranný trojúhelník

It = sqrt3*a4/80

Wt = a3/20