1. Aproximace zemského tělesa

Kartografické zobrazení vyjadřuje závislost mezi mapou a referenční plochou Země. Referenční plocha je povrch referenčního tělesa, která odpovídá rotačnímu elipsoidu

Z geodetického hlediska je zemský povrch nepravidelnou plochou, která se nehodí pro řešení měřičských úloh na zemském povrchu. Tuto plochu nahrazujeme plochou, geoidem. Geoid - plocha matematicky definovatelná, je představován středními hladinami moří, které probíhají i pod kontinenty, nulová hladinová plocha, pro řešení geodetických úloh stále ještě dosti složitý.

Geoid nahrazujeme  ještě jednoduší plochou zvanou sféroid který se téměř shoduje s rotačním referenčním elipsoidem, zploštění i = (a-b)/a  .

Druhy rotačních elipsoidů - Beselův - přesný pro evropské poměry, Hayfordův - pro Rusko, Krasovského - pro americké státy

Rotační elipsoid se často nahrazuje náhradní referenční koulí

Střední poloměr křivosti koule r= √‾ (M*N) M-poloměr zakřivení poledníku,  N-poloměr příčného zakřivení, (někdy r = 3. √‾ (a*b)=6371km)

Pro určení tvaru zemského povrchu se podle nulového výškového bodu, určeného na hladinách různých moří označují používané systémy: Jadranský a Baltský(-0,4m), používá se Baltský.

 

2.  Druhy zobrazení, polohopisné geodetické základy ČR

Zobrazovací metody:

 1.dle tvaru použité zobrazované plochy : azimutální, válcová, kuželová

   - po rozvinutí do roviny se určují pravoúhlými souřadnicemi od os x a y a 

     počátku 0. Vznikají tak pravoúhlé souřadnicové soustavy.

 2.dle polohy os zobrazované ploch: normální -osa je totožná s osou zemskou,             

    šikmá (obecná)  - osa v libovolné poloze, transverzální (příčná) – osa leží

    v rovině rovníku 

 3.dle druhu zkreslení: rovnoúhlé (konformní),  rovnodélné (ekvidistantní), 

    rovnoploché (ekvivalentní), vyrovnávací

Bodová pole - množina pevných bodů, polohově navzájem jednoznačně určených a orientovaných v určité souřadnicové soustavě. Polohu bodu BP vyjadřujeme pravoúhlými rovinnými souřadnicemi.

1. základní polohové BP (ZPBP) - body referenční sítě nultého řádu

                                                   - body Astronomicko-geodetické sítě (AGS)

                                                   - body české státní trigonometrické sítě (ČSTS)

                                                   - body geodynamické sítě

2. podrobné polohové BP (PPBP) - body zhušťovací

                                                       - body ostatní pevné a dočasně stabilizované

 

 

 

         

3.  Souřadnicové systémy v ČR (přehled)

a) Staré katastrální souřadnicové soustavy – mapy v dříve používané míře

   sáhové, v 19. století,

 - válcová projekce s trasversální polohou válce - území bylo děleno na

   poledníkové pásy o šířce jen několik délkových

   stupňů, osa x (v každém pásu totožná s voleným dotykovým poledníkem) -

   kladný směr k jihu, osy y - kladný směr k západu, počátek

   soustavy vložen obvykle do bodu triangulační sítě

 - měřítko 1: 2 880

 a)pro Čechy soustava s nulou na bodě Gustenberg v Horn. Rakousku

 b) pro Moravu a Slezko soust. s nulou ve Vídni na kostele sv.Štěpána

 c) pro Slovensko s počátkem na hvězdárně Gellérthegy v Budapešti

b) Novější katastrální souřadnicové soustavy (vojenská triangulace)– mapy po zavedení metrické míry, v r. 1871 ze starých katastrálních map

 - směr osy x a y stejný, číslování postupuje v každém kvadrantu ve smyslu 

   stoupajících hodnot souřadnic (triangulační listy měly rozměr 10 000 m po

   vrstvách a 8 000 po sloupcích)

 - měřítko 1: 2 500

c) Souřadnicový systém 1942 - mapy v mezinárodní souřadnicové soustavě

 

 

 

 

 - Gaussovo zobrazení v úpravě Krügerové, v SSSR od roku 1942 pro veškeré mapování  pro celou zeměkouli

- válcová projekce v transversální projekcí - středový dotykový poledník (šířka

   poledníkové pásu 3ºnebo 6º zeměpisné délky) vytváří v rovině osu x - kladný

   směr k severu, osa y je pak průmětem rovníku na válec - kladný směr

   k východu, počátek v průsečíku obou os

d) Jednotná trigonometrická síť katastrální - pro ČR, od roku 1927

 - rozvinutá kuželová plocha obecného konformního zobrazení

 - naše území se zobrazí v 1. kvadrantu, nemá  záporné hodnoty, používá

   se co nejploššího kužele, aby došlo k co nejmenšímu zkreslení

 

4.  Souřadnicový systém S-JTSK, WGS-84

S-JTSK - pro ČR, od roku 1927

- rozvinutá kuželová plocha obecného konformního zobrazení - osa kužele je

  odchýlena od osy zeměpisné o úhel α= 30º17'17,3031“ v rovině zeměpisného

  poledníku λ0=42º30' východně od Ferra (ostrov v atl. oceánu, dříve nulový

  bod)

- povrchová přímka kužele nad poledníkem 42º30' východně od Ferra byla

  zvolena za kladnou osu x - směrem k jihu, Osa y je kolmá k rozvinuté

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 kuželové ploše k ose x - kladný směr k západu a vrchol kužele P za počátek

 souřadného systému

- naše území se zobrazí v 1. kvadrantu, nemá  záporné hodnoty, používá

  se co nejploššího kužele, aby došlo k co nejmenšímu zkreslení

WGS-84 - celosvětový pravoúhlý geocentrický souřadnicový systém

 - Griničský poledník -geocentrické souřadnice X,Y,Z

                                   -zeměpisné souřadnice φ - šířka 0 - 90°,λ -délka 0 - 180°,

                                    H - elipsoidická výška

- při měření GPS

 

5.  I. geodetická úloha, II. geodetická úloha

I. souřadnicová úloha - výpočet délky a směrníku

- dáno: P1(x1, y1) , P2(x2, y2)

- určit směrník strany σ1,2:

tg σ1,2 = Δy1,2 / Δx1,2 = (y2 - y1) / (x2 - x1)

σ1,2 = arctg ((y2 - y1) / (x2 - x1))

- určit délku strany s1,2:

s1,2 = Δy1,2 / sinσ1,2 = Δx1,2 / cosσ1,2 = √ (Δy1,2)2 + (Δx1,2)2

sinσ1,2 = Δy1,2 / s1,2                 cosσ1,2  = Δx1,2 / s1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                  

Znaménka v kvadrantech:                   Směrník:

I.      +         +                                      σ1,2 = α1,2

II.     +         -                                      σ1,2 = 200g - α1,2

III.    -          -                                      σ1,2 = 200g + α1,2

IV.    -         +                                      σ1,2 = 400g - α1,2

       Δy1,2    Δx1,2

II. souřadnicová úloha - výpočet souřadnic bodu

- dáno: s12, σ 1,2 , P1(x1, y1)

- určit souřadnice bodu P2 :

 Δy1,2 =  s12 * sin σ1,2         

 Δx1,2 =  s12 * cos σ1,2

y2 = y1 + Δy1,2 = y1 + s12 * sin σ1,2         

x2 = x1 + Δx1,2 = x1 + s12 * cos σ1,2

Určování polohy bodu protínáním - určujeme souřadnice bodů na větší

   vzdálenosti

 - určuje-li se poloha bodů z bodů známých = protínání vpřed

 - určuje-li se poloha bodů z bodu neznámého záměrami na bod známý =

   protínání zpět

 - rozlišujeme protínání z úhlů nebo délek (co máme k dispozci)

 

  

 

 

 

6.  Protínání vpřed z úhlů

protínání vpřed s měřenými úhly

- dáno: P1(x1, y1) a P2(x2, y2)

- určit polohu bodu P3:

tg σ1,2 =  Δy1,2 / Δx1,2  σ1,2   

s1,2 =  √ (Δy1,2)2 + (Δx1,2)2

γ = 180º - (α + β)

σ1,31,2 + α       σ2,32,1 – β

s13= (s12/sin γ)* sinβ

* sinany se potom rovnajíodu Pe třeba určit polohu bodu Ps23= (s12/sin γ)* sinα

Δy13=s13 * sin σ13        Δx13=s13 * cos σ13

Δy23=s23 * sin σ23        Δx23=s23 * cos σ23

- souřadnice P3:

y3 = y1 + s13 * sin σ13      x3 = x1 + s13 * cos σ13      

y3 = y2 + s23 * sin σ2     x3 = x2 + s23 * cos σ23

 

7.  Protínání vpřed z délek

- dáno: P1(x1, y1) a P2(x2, y2)

- určit polohu P3, délky stran s1,3, s2,3:

tg σ12 =(y2-y1)/(x2-x1)

s12=(y2-y1)/(sin σ12)= (x2-x1)/(cos σ13)      

s=s12+s23+s13                                                                   

- pomocí cosinovy věty:

                         

                               

 

- kontrola: α+β+γ=2R

- platí:    l2 + k2 = s132            (s12 – l2) + k2 = s232

                         

- pata kolmice T leží na s12: σ1T12

- pro souřadnice bodu T platí:

 xT = x1 + l * cos σ12          yT= y1+ l * sin σ12

- souřadnice P3 určíme ze souřadnic bodu T  

 x3 = xt + k * cos σT3             y3 = yt + k * sin σT3

 x3 = x1+l * cos σ12 + k * cos σT3           y3 = y1+l * sin σ12 + k * sin σT

- platí: σT3=σ12+90º, sin σT3 = cos σ12, cos σT3 = - sin  a σ12

- konečná rovnici pro P3: 

y3 = y1+l * sin σ12 + k * cos σ12                             x3 = x1+l * cos σ12 - k * sin σ12         

 

 

 

8.  Protínání vpřed ze směrů, orientace na stanovišti

- dáno: P1(x1, y1), P2(x2, y2),A,B,C

- měříme: ωA, ωB, ωC

σ1,2 = arctg ((y2 - y1) / (x2 - x1))

β = σ2,1 - σ2,3           α = σ1,3 - σ1,2

Orientace na stanovišti:

- dáno: P1(x1, y1),A,B,C

- určit směrník σ1,2:

σ1,2A = σ1,A + ωA

σ1,2B = σ1,B + ωB

σ1,2C = σ1,C + ωC

- aritmetický průměr:

σ1,2 = (σ1,2A  σ1,2B σ1,2C) / 3

9.  Protínání zpět – Cassiniho řešení

- dáno: P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3), měříme: λ,ν

- určit bod: P4(x4, y4)

Cassiniho řešení: podmínka - P1 - P4 nesmí ležet na jedné kružnici

σ1,2 = arctg ((y2 - y1) / (x2 - x1))

s1,2 = Δy1,2 / sinσ1,2 = Δx1,2 / cosσ1,2 = √ (Δy1,2)2 + (Δx1,2)2

σ1,A = σ1,2 + 300g                                                           

s1,A = s1,2 / tg λ  

yA = y1 + s1,A*sinσ1,A

xA = x1 + s1,A*cosσ1,A

σ3,B = σ3,2 + 100g

s3,B = s3,2 * cotg ν

yB = y3 + s3,B * sin σ3,B

xB = x3 + s3,B * cos σ3,B

rovnice přímky dané body A, B

 

rovnice přímky P2P4:

y4 - yA = ((yB - yA)/(xB - xA)) * (x4 - xA)

y4 - y2 = ((xB - xA)/(yB - yA)) * (x4 - x2)

 

10. Protínání zpět pomocí Colinsova bodu

- dáno: P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3), měříme: μ,ν

Collinsovo řešení: podmínka P1 - P4 nesmí ležet v jedné přímce

γ = (μ + ν)

 

s1,2 = Δy1,2 / sinσ1,2 = Δx1,2 / cosσ1,2 = √ (Δy1,2)2 + (Δx1,2)2

σ1,2 = arctg ((y2 - y1) / (x2 - x1))               

s1,K = s1,2 * (sin μ / sin (200 - (μ - ν)))

s1,K = s1,2 * (sin μ / sin (1 + ν))

σ1,K  = σ1,2 + ν

yK = y1 + s1,K * sin σ1,K

xK = x1 + s1,K * cos σ1,K

σK,1 = arctg (y1 - yK) / (x1 - xK)

σK,2 = arctg (y2 - yK) / (x2 - xK)

σK,3 = arctg (y3 - yK) / (x3 - xK)

β = σK,2 - σK,3        α = σK,3 - σK,1

σ1,4  = σ1,2 - β

s1,4 = s1,2 * (sinα / sin (μ + ν))

y4 = y1 + s1,4 * sin σ1,4

x4 = x1 + s1,4 * cos σ1,4

σ2,4  = σ2,1 - α

s2,4 = s1,2 * (sinβ / sin (μ + ν))

y4 = y2 + s2,4 * sin σ2,4

x4 = x2 + s2,4 * cos σ2,4

 

 

              

11. Polygonový pořad – princip výpočtu, typy polyg. pořadů

- základem polygonového měření je postupné určování poloh bodů na základě známé polohy daného bodu, měřené vzdálenosti a směrníku k bodu hledanému

- spočívá na druhé souřadnicové úloze

Polygonový pořad oboustranně orientovaný a oboustranně připojený - měříme jedenkrát, začíná na známé straně AB a končí na známé straně CD

 

 

 

 

 

Polygonový pořad jednostranně orientovaný a oboustranně připojený - měříme

 jedenkrát, zacíná na známé straně AB a končí na známém bodě K

 

Polygonový pořad  otevřený - měříme dvakrát, začíná na známé straně AB a končí na bodě, který má být určen

 

 

 

 

 

 

 

Polygonový pořad uzavřený - začíná a končí na známé straně

 

Polygonový pořad vsunutý - začíná a končí na známém bodě

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Výpočet a přibližné vyrovnání oboustranně připojeného a oboustranně orientovaného polygon. pořadu

Nejdřív se vyrovnají úhly, pak souřadnicové rozdíly

- změřit úhly: ω12ωC

- změřit délky: sA,BsC,D

- určit směrníky:

σA,B=arctg((yB-yA)/(xB-xA))

σA,B´= σA,B + (ωi) - k*200g

σA,B - σA,B´ < σDOV

odchylka: OωOωp - povolená mezní odchylka

odchylka celková: Oy = yC - yC´ ,   Ox = xC - xC´    ,   Oxy = ±√ Ox2 + Oy2

odchylka skutečná: Oxy skut. = ± √ Σ S+0,04

OxyOxy skut.

oprava: vi = Oω / (n + 2)        n + 2 - počet všech vrcholových úhlů

ωi = ωi´+vi     ωi - skutečný směrník, vi - skutečná oprava

σ1,2 = σB,1 + ω1 - 200g

σ2,1 = σA,B + ωB - 200g

nové souřadnice: Xi, i+1 = Δxi, i+1 + 1´ + xi, i+1     Yi, i+1 = Δyi, i+1 + 1´ + yi, i+1

13. Metoda trojúhelníkových řetězců – princip vyhodnocení

- trojúhelníkový řetězec oboustranně připojený a orientovaný (6 troúhelníků)

- připojovací strany sA,B, sC,D mezi danými body A,B,C,D, úhly 1 - 16

- úhlové podmínky pro součet úhlů v trojúhelníku:

(2) + (4) + (6) - 200g = 0

(5) + (7) + (9) - 200g = 0

 

 

 

(8) + (10) + (12) - 200g = 0

(11) + (13) + (15) - 200g = 0

-základnová podmínka:

 

-směrníková podmínka: σC,D = σA,B + Σω - i . 200g

-souřadnicové podmínky: XC = XA + ΣΔx         YC = YA + ΣΔy

-poměr mezi skutečnou a vypočtenou délkou: q = sC,D / sC,D´

-propočítáme a vyrovnáme polygonový pořad A P1 P2 P3 P 4C podle postupu pro oboustranně připojený a orientovaný polygonový pořad

14. Přesnost určení polohy bodů PPBP

- geometrické parametry a kritéria přesnosti jsou stanoveny podle:

 1. jednotlivých tříd přesnosti určovaných bodů

 2. způsobu připojení

 3. základních středních chyb měřených úhlů a délek

15. Transformace souřadnic, základní jednotky úhlového a délkového měření

- transformace souřadnic znamená převést souřadnice z jednoho souřadného systému do druhého. Tento požadavek přicházel v úvahu při změně katastrálních soustav.

-ze staré soustavy souřadnic P(α, β) se převede do nové soust.souřad. P(x,y):

 1. posunem počátku O´(x0,y0)   

 2. úhlem natočení δ odpovídajících os 

 3. zkreslením q = sA,B / sA,B´    

- souřadnice nového bodu: x = x0 +O´I – JK  ;  x = x0 + α cosδ – β* sinδ

                                            y = y0 +PK – JI   ;   y = y0 + α cosδ + β* sinδ 

 

16. Popis teodolitu, osové podmínky správnosti teodolitu

- základní části: - stativ - podložka - přístroj

 1. trojnožka = stativy - nejsou součástí vlastních měřických přístrojů, ale jsou

                         nezbytné                                  

                      - 3 stavěcí šrouby (horizontce) - limbus - úhlová stupnice                 

 2. limbus - úhlová stupnice                   

 3. alhidáda - čočky (spojné a rozptylné)

                    - hranoly (sledování urovnání libel)

                    - planparalelní deska (doměřování zbytku dělení)

                    - klínek (odchýlí paprsek z původního směru o úhel δ)

                    - lupa (z čoček)

                    - mikroskop (větší zvětšení než lupa - objektiv, okulár)

                    - dalekohled (nejdůležitější součást, záměrná pomůcka - objektiv, 

                       okulár z více čoček)

                       - refraktory (složeny z čoček)- Kellerův, Wildův

                       - reflektory (složeny z čoček a zrcadel)

                    - šrouby - konstrukční (použity při konstrukci přístroje)

                                  - funkční - stavěcí šrouby (urovnávají přístroj do správné

                                                    polohy před měřením)

                                                 - ustanovky (slouží k vzájemnému pohybu fčních

                                                    celků, hrubá – aretace hrubého pohybu, jemná 

                                                    slouží k pomalému citlivému pohybu)

                                                  - rektifikační šrouby (slouží k jemnému posunu

 

 

 

 

 

                                                    některých součástí přístroje při rektifikaci)

                  - osy a osové soustavy (přesnost až 0,001 mm)

                  - stupnice - délkové, úhlové

                  - libely - na alhidádě je alhidádová (nejcitlivější na teodolitu)

                             - krabicová, méně citlivá (slouží k rychlému urovnání teodolitu

                             - indexová, nivelační, sázecí libela

Osové podmínky:

1. vertikální točná osa V – svislá osa otáčení alhidády

2. osa alhidádové libely L – osa libely je tečna vedená ve směru podélné osy

                                             v nejvyšším místě zakřivení libelové trubice

3. záměrná přímka Z – je to spojnice optického středu objektivu se středem

                                     nitkového kříže

4. klopná osa dalekohledu K – vodorovná osa otáčení dalekohledu, procházející

                                                  středy čepů, které jsou uloženy v ložiskách

                                                  vidlice alhidády

Strojové podmínky: 1. excentricita alhidády

                                 2. excentricita záměrné roviny

                                 3. zlom indexové čáry

                                 4. chyba z nestejnoměrného dělení kruhu

 

17. Metody měření vodorovných úhlů 

1.Jednoduché měření úhlů:

- máme změřit úhel ω mezi body P1 a P2

- přístroj (teodolit) je dostředěn ve vrcholu měřeného

   úhlu

- zacílíme na bod P1 → čtení a1, zacílíme na bod P2 → čtení b1 → úhel je: ω1 = b1 - a1

- tento úhel je ale zatížený všemi chybami, které vyplývají nesplnění strojových a osových podmínek správnosti teodolitu → nutno provést měření v obou polohách dalekohledu

- zacílíme na bod P1 → čtení a2, zacílíme na bod P2 → čtení b2 → úhel je:          ω2 = b2 - a2

- výsledný úhel je: ω = (ω1 + ω2) / 2

- přesnost takto měřených úhlů je malá → tuto metodu nepoužíváme

2. Měření směrů v řadách a skupinách:

- měřené úhly obdržíme jako rodíl naměřených směrů

- máme určit směry na body P1, P2, P3 - resp. úhly mezi těmito směry

- zvolíme si bod M - má být přibližně v horizontu stroje, stejně vzdálený jako  

   určované a měl by být po celou dobu měření stálý (neměl by to být žádný

 

 

  z určovaných bodů)

- nastavíme počáteční čtení a0 a zacílíme na výchozí bod (před měřením otočíme jednou alhidádou a znovu zacílíme na bod M) - zaznamenáme toto počáteční čtení

- dále změříme hodnoty a1, a2, a3, a0 (skončíme na výchozím bodě M → máme změřenou první řadu), proložíme dalekohled do druhé polohy a měříme druhou řadu v opačném pořadí (b0, b3, b2, b1, b0)

- podle pořadované přesnosti měříme více skupin → počáteční čtení v dalších skupinách je pootočeno o úhel α (tím odstraňujeme chybu z chybně dělené stupnice kruhu)

 

18. Metody měření svislých úhlů

 

19. Chyby při měření vodorovných a svislých úhlů, jejich odstraňování, příp. eliminace

Provádíme li několikrát měření stejné veličiny, nedostaneme nikdy stejnou hodnotu. I když použijeme stejné postupy, stejné přístroje a pomůcky, nikdy není měřená veličina přesně stejná.Je to způsobeno nedokonalostí a nepřesností měřičských přístrojů, pomůcek a omylů lidských smyslů.

Nikdy tedy není naměřená hodnota ta přesná. Říkáme, že měřená veličina je zatížena měřičskou chybu.

Druhy chyb:

1.Omyly – vznikají zpravidla nepozorností měřiče, např. záměna číslic na      

                  pásmu, zacílení a zaměření na nesprávný cíl, opomenutí urovnání          

                  indexové libely, opomenutí urovnání nivelační libely,…

2. Hrubé – zpravidla výsledek měření, jenž je zatížen chybou nepřípustnou pro

                  danou metodu měření (hodnota naměřená při silném větru, špatné

                  viditelnosti,…)

3. Systematické neboli soustavné – soustavně ovlivňují výsledek měření, jsou 

                      způsobeny určitými příčinami, které mají stálý déle trvající nebo  

                      přechodný charakter, zpravidla je odstraníme výpočtem, známe-li 

                      příčiny jenž je vyvolávají

                      - dělíme na stálé, jednostranné, proměnlivé

4. Nahodilé – příčinou je nedokonalost lidských smyslů, nedokonale odstranění

                      zbytkových chyb přístrojů a měř. pomůcek,popř. změna okolních

                       podmínek, jsou nevyhnutelné,  obsahuje je tzv. GAUSSUV

                       ZÁKON CHYB

5. Skutečné – značíme je ε a definujeme je jako rozdíl mezi skutečnou hodnotou

 

                       x a pozorovanou hodnotou li    εi = x - li   

6. Pravděpodobné (domnělé) – v praxi většinou pravou hodnotu měřené veličiny

                       neznáme, proto z opakovaného měření určíme ar. průměr x, který

                        považujeme za nejpravděpodobnější hodnotu měř. veličiny.

    GAUSS zavedl:

          

Charakteristiky přesnosti: přesnost měření určujeme zpravidla třemi charakteristickými chybami(ukazateli přesnosti).  

1. průměrná (lineární) chyba saritm. průměr abs.hodnot všech chyb:

2. střední kvadratická chyba mkvadrat.průměr všech skutečných chyb

3. pravděpodobná chyba r – chyba, která v řadě měření byla překročena tolikrát kolikrát nebyla dosažena

Největší přípustné (mezní) chyby : měření jenž vykazují větší chybu než mezní z řady měření vylučujeme. Vylučování dle subjektivního uvážení by mohlo vést ke zkreslení výsledků měření

 

20. Definice metru, metody měření a určování délek (přehled).

Definice metru -1m je délka, kterou projde světlo ve vakuu za 1/rychlost šíření světla(1/299792458s), každé délkové měřidlo musí být kalibrováno

Základní metody měření a určování délek:

1. přímé - vzdálenost 2 bodů měříme přímým přiložením měřidla ve směru

                spojnice obou koncových bodů, případně sousedních mezibodů měřené

                délky.

2. nepřímé - určujeme velikost měřené délky nepřímo-výpočtem z jiných přímo

                    měřených veličin

 a)trigonometricky-určujeme hledané délky z přímo měřené základny a                

                               měřených vodorovných uhlů v trojúhelníku

 b)paralakticky

 c)optické měření:nitkové dálkoměry, diagramové dálk., dálk.s vestavěnou 

    základnou

21. Přímé měření délek měřidly – metodika, chyby při měření

- pro měření se používají pásma invarová, ocelová, plátěná a z umělých hmot

- vyrábějí se v délkách10, 20, 30 a 50 m s centimetrovým a decimetrovým dělením

Metodika:měřičská skupina -4-členná -dva pomocí měřiče napínají pásmo ve směru měření

              směru měření a další dva odčítají na koncových bodech měřené délky -            

             - 1. pomocník drží pásmo za pevný konec, druhý napíná druhý konec

             siloměrem na sílu 100 N, po docílení dané síly dá povel k odečtení a

             pomocníci současně odečtou délku s přesností na mm na koncovém bodu

            - pásmo je ve vodorovné poloze

            - rozdíl obou čtení je měřená délka, čtení i délky se zapisují do zápisníku, 

             stejně tak jako teplota a napínací síla.

            - na jedné délce se provádí aspoň 3 měření, vždy v jiné poloze pásma

            - ze tří vyhovujících měření se provede aritmetický průměr, který se  

              opravuje o systematické chyby

Redukce šikmo měřené délky:   

Δs = 2* l * sin2 γ/2

 

 

 

; redukovaná délka   s=l– Δs.

 

Systematické chyby: skupina chyb, řídící se určitými zákonitostmi a můžeme

                            jejich velikost zjistit výpočtem a měřené hodnoty o ně

                            opravit, nebo je můžeme z měření vyloučit měřickým postupem

Systematické opravy: 1. oprava z komparace – Δlk   

                                    2. oprava z teploty - Δlt

                                    3. oprava z průhybu – Δlpr      

                                    4. oprava z protažení – Δlpt

                                    5. oprava z kartografického zkreslení – Δlzk 

                                    6. oprava z nadmořské výšky - Δlnv

22. Určování délek trigonometricky – princip, metodika

 - určujeme hledané délky z přímo měřené základny  a měřených vodorovných úhlů v trojúhelníku

-máme-li určit vzdálenost  l z bodu 3 na nepřístupný bod N, dle obrázku bude

 

 

 

-jsou-li známy souřadnice bodů 1, 2, 3,pak se jejich délka se vypočte ze souřadnic

                            

- u tohoto řešení určíme vždy vodorovné vzdálenosti, neboť je to v důsledku měření vodorovných úhlů

- Přesnost trigonom. výpočtů bude závislá na přesnosti měřických přístrojů

23. Určování délek paralakticky – princip, metodika

- z obrázku vyplývá  l = z/2 * cotg (γ/2)

- úhel γ  se nazývá paralaktickým úhlem a je proti

  základně

- základnová lať bývá zpravidla 2m dlouhá a proto se výraz zjednoduší na l = cotg (γ/2), délka se pak určí jen jako tangenta polovičního paralaktického úhlu ze sestavených tabulek

24. Optické určování délek – dvojobrazový dálkoměr – princip, metodika

- princip měření vzdáleností optickým dálkoměrem se základnou v cíli vychází z vytvoření konstantního dálkoměrného (paralaktického) úhlu optickým přístrojem, dálkoměrem

- druhý díl dálkoměrného měření je realizován dělenou základnovou latí, jenž je umístěna na druhém koncovém bodě

- v dálkoměrném pravoúhlém trojúhelníku platí že d = l * cotg γ

- úhel γ je konstantní - musí být l vzdálenost na lati proměnlivá v závislosti na měřené délce d

 

25. Optické určování délek – nitkový dálkoměr – princip, metodika

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- jsou jím opatřeny všechny moderní teodolity a nivelační přístroje - dálkoměrné zařízení tvoří 2 vodorovné rysky, symetricky umístěné vůči střednímu vodorovnému vláknu nitkového kříže

- vzdálenost y těchto rysek určuje dálkoměrný úhel δ, který spolu s laťovým úsekem l  (základnou) proměnlivé délky, vymezuje na svisle postavené, dělené lati oběma vlákny určovací trojúhelník

- vodorovná záměra: s = s´+ d + f ,   s´- délka z určovacího trojúhelníku, d - vzdálenost objektivu od svislé točné osy teodolitu, f - ohnisková vzdálenost objektivu

 s´ = (f . l) / y; f / y = k = 2 cotg (δ/2); d + f = c       

 s = k.l + c            k-násobná konstanta (= 100) , c-součtová konstanta (= 0)

- vodorovná vzdálenost při šikmo měřené vzdálenosti: s = (k.l + c) . cos2β

26. Elektronické dálkoměry- princip, metodika, přesnost

Měření délek fyzikálními metodami:

- používá se elektrofyzikálních dálkoměrů, laserů a šíření zvuku

- dálkoměry elektofyzikální - využívají rychlost šíření elektromagnetických vln

                   - elektrooptické a radiové (liší se druhem vlnění a délkou vlny)

                   - skládá se z vysílače ze kterého se vysílá vlnění po měřené vzdálenosti

                     směrem k odražeči, na kterém se vlnění odráží a vrací se zpět do

                     přijímače

                  - jelikož rychlost vlnění je známá, stačilo by určit jen čas za který signál

                    proběhne vzdálenost tam a zpět a vypočítali bychom vzdálenost, ale to     

                    nelze provádět v praktickém měření dostatečně přesně, využívá se tedy

                    určení fázového posunu (nepřímá metoda určení času)    

- dělíme je na: elektrooptické se světlem viditelným (λ = 780-380 μm)

                          elektrooptické se světlem neviditelným (λ>800 μm)

                          rádiové dálkoměry (10 cm > λ > 1 cm)

                          laserové dálkoměry (zdrojem světla je laserové zařízení).

- dle rozsahu: malý rozsah (do 3km), střední rozsah (do 15km), velký rozsah (> 15km)

 

27. Výškopisné základy České republiky, výškové systémy v ČR, metody měření a  určování výšek a převýšení (přehled)

Jaderský systém:

- nulová hladina byla už v době Rakouska-Uherska odvozena od střední hladiny

  jaderského moře z pozorování vodočtu na Molo Sartorio v Terstu, kde je základní

  značka na budově finanční stráže

- tento jaderský systém platil u nás pro určování výšek asi do roku 1949

Baltský systém:

- v roce 1949 začalo sjednocování výškových systémů všech lidově-demokratických

  států a nulová hladina byla vztažena na střední hladinu Baltského moře, byla   

  dlouhodobě sledována v Kronštadtu u Leningradu

Rozdíl mezi jaderským a baltským systémem byl prozatímně stanoven na 460 mm, hladina Baltského moře je asi o 460 mm výše než hladina Jadranu (460-680mm)

Dnes je stanoveno používání baltského systému a značí se Bpv (blatský systém pro vyrovnání)

Základem dnešního výškového bodového pole je česko-slovenská jednotná nivelační síť (ČSNS), jenž byla vybudována s největší možnou přesností.

Základní nivelační bod je Lisově u Českých Budějovic, jeho nadm. výška v jaderském systému je 565,1483 a v baltském systému 565,7483 m.

 

 

 

 

ČSNS tvoří asi 75 000 bodů, které se dělí na:

 1) základní bodové pole -dále tvořeno: a) 22 základními nivelačními body

                                          b) nivelační sítí I. řádu 

                                          c) nivelační sítí II. řádu

                                          d) nivelační sítí III. řádu

2) podrobné bodové pole - složeno z: a) nivelační sítě IV. řádu

                                           b) plošné nivelační sítě

                                           c) stabilizovanými body technické nivelace

ČSNS byla budována od roku 1920 do roku 1975

Metody řešení:-geometrická nivelace

                        -trigonometrické určení výšek a převýšení

                        -barometrické určení výšek a převýšení

                        -hydrostatická nivelace

                        -technologie GPS

                        -dálkový průzkum Země (fotogrammetrie - letecká, družicová)

28. Geometrická nivelace, princip, přístroje, metodika měření, chyby, přesnost, podélný a příčný profil

- geodetická úloha, spočívající v určení výškových rozdílu převýšení dvou bodů z rozdílu výškových odlehlostí od vodorovné roviny, kterou stanovíme nivelačním

přístrojem

- geometrická nivelace je přesná a převážně používaná metoda určování výškových rozdílů

- lze provádět dvěma způsoby. V obou metodách získáme převýšení dvou bodů z rozdílu výškových odlehlostí od vodorovné roviny, kterou stanovíme nivelačním přístrojem.

Geometrická nivelace ze středu:

- je metoda pro určení převýšení mezi vzdálenými body

- pokud známe výšku výchozího bodu, pak přičtením převýšení určíme výšku koncového bodu nivelačního pořadu, případně jiných pevných bodů mezi počátečním a koncovým bodem pořadu.

- pro určení výšky bodu B na základě známe výšky

bodu A podle obrázku platí vB = vA + vAB = vA + lAZ - lBP

Postup měření:

- nivelační lať postavíme na výchozí bod, ve vzdálenosti maximálně 30 kroků ve

  směru postupu postavíme stroj, a ve stejné vzdálenosti lať–stroj postavíme druhou lať

  na žabku (nivelační stroj musí být uprostřed mezi latěmi)

 

 

- počet kroků mezi latěmi si zapisujeme do zápisníku (kolonka poznámky) pro určení

  přibližné vzdálenosti nivelačního tahu pro výpočet dovolené odchylky

- stavěcími šrouby (případně klíny) urovnáme libelu

- zacílíme na výchozí bod, zaostříme nitkový kříž a dalekohled, a odečteme čtení vzad

- vždy odečítáme 4 čísla → čtení je v milimetrech

- zacílíme na druhou lať (další bod ve směru postupu) → získáme čtení vpřed

- lať z výchozího bodu přeneseme na další bod ve směru postupu, nivelační stroj dáme

  opět doprostřed mezi latě
- opět stroj zhorizontujeme, odečteme čtení vzad, čtení vpřed

- z počátečního na koncový bod vedeme nivelační tah TAM, stejným způsobem

  vedeme nivelační tah ZPĚT z koncového bodu na výchozí bod

Přístroje: nivelační libelové, nivelační se samočinným urovnáním záměrné přímky

Chyby: - systematické - komparace, teploty, průhyb pásma, vybočení

            - nahodilé

            - přístrojové - ze sklonu záměrné roviny, z nesvislé polohy latě, chyba laťového

                                  metru, z nedokonalostí patky latě, předostředování dalekohledu, 

                                  indexová chyba

            - měřické - z nepřesného urovnání nivelační libely, ze čtení na lati,  

                   z nepevného přístroje a špatné postavení lati, z paralaxi záměrného obrazce

 

            - z prostředí - ze svislé složky refrakce

                                - chyba z vibrace

29. Trigonometrické určování výšek a převýšení

- určení výšky nebo převýšení bodů objektu nacházejících se na stejné svislici z malé vzdálenosti

1. vzdálenost k objektu je známá nebo se dá změřit

 Určení výšky objektu o známé vzdálenosti:

- teodolit postavíme ve vzdálenosti d od objektu a

  změříme výškové úhly na nejnižší a nejvyšší část

  objektu, jehož výšku určujeme

- získáme převýšení h1 a h2, jejichž rozdíl dává výšku

  objektu h = d . (tgβ1 - tgβ2)

2. vzdálenost k objektu není známá a dá se určit zprostředkovaně

a) Určení výšky objektu pomocí vodorovného

   trojúhelníku:

- v blízkosti objektu zvolíme 2 stanoviska S1 a S2

  tak, aby s bodem P objektu vytvářely podle

  možnosti pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem

 

  u objektu

- výška bodu P: VP = V1 + ν1 + h1 = V1 + ν1 + s1 . cotg z1       ν12 - výška přístroje

                          VP = V2 + ν2 + h2 = V2 + ν2 + s2 . cotg z2          z1,z2 - zenitové vzdálenosti

- délka: s1 = b . (sinω2 / sin (ω1 + ω2))

              s2 = b . (sinω1 / sin (ω1 + ω2))   z vodorovného trojúhelníka S1 P S2

b) Určení výšky metodou svislého trojúhelníku:

- zvolíme 2 stanoviska S1 a S2 tak, aby s bodem 

  P ležely v jedné svislé rovině a aby vodorovná

 vzdálenost b mezi S1 a S2 se dala přímo změřit

- výška bodu P:  VP = V1 + ν1 + s . cotg z1    

                           VP = V2 + ν2 + (s - b) . cotg z2    

 

- délka:

s = (V2 - V1 + ν1 - ν2 - b. cotg z2) / (cotg z1 - cotg z1)

- stanoviska leží po obou stranách objektu:

   s1 = tg z1 (VP - (V1 + ν1)

   s1 = b - tg z2 (VP - (V2 + ν2)   

 s = (b - (V1 + ν1) . tg z1 +  (V2 + ν2) . tg z2) / (tg z1 - tg z2)

       

         

                         

30. Hydrostatické a barometrické určování výšek a převýšení                  

1.Hydrostatickáje založena na principu spojených nádob

   - nejjednodušší pomůckou je hadicová vodováha, sestávající se ze dvou skleněných

     nádob opatřených stupnicí, jsou ukončeny kovovým dnem s kohoutky pro

     připojení hadice, nádoby jsou spojeny gumovou hadicí.

2.Barometrickázakládá se na poznatku, že tlak  vzduchu ubývá s rostoucí

     nadmořskou výškou, (1 Pa = 8 cm)

   - tlak vzduchu v určitém místě je roven hmotnosti vzduchového sloupce nad tímto

     místem a nahrazuje ho stejně těžkým rtuťovým sloupcem v milimetrech

   - výšku rtuťového sloupce lze určovat barometry, bude-li na dvou místech zjištěn

     barometrický tlak, lze zjistit i rozdíl výšek bodů

   - tato metoda ale nezaručuje dostatečnou přesnost

31. Tachymetrie – metodika měření a vyhodnocení

Tachymetrie je geodetická metoda pro současné zaměření polohopisu i výškopisu 

- poloha bodu je dána polarními souřadnicemi (vodorovným úhlem od vychozí

  orientace a vodorovnou délkou)

- výška bodů se určí na základě výšky stanoviska, výšky stroje a změřeného převýšení

Postup měřšní: - jako stanoviska volíme body podrobného polohového bodového pole, 

  jejichž polohu jsme určili polygonovým pořadem na základě známých souřadnic

  jednoho bodu a směrníku na orientaci

- na stanovisku zcentrujeme a zhorizontujeme přístroj, do zápisníku zaznamenáme

  změřenou výšku stroje nad bodem (na celé centimetry), a nastavíme orientaci

  (nastavíme přesnou nulu) na jiný bod podrobného polohového bodového pole
- ten, kdo provádí polní náčrt řídí celé měření – měřené body volíme podle toho, aby

  byl zachycen polohopis (silnice, chodník, bodova, hranice pozemků,...) a taky

  členitost terénu
- všechny naměřené údaje (úhly s minutovou přesností, vodorovnou vzdálenost a

  převýšení na decimetry) zapisujeme do zápisníku, čísla bodů v zápisníku musí

  souhlasit s čísly bodů v polním náčrtu

Zpracování polohopisu:
- do souřadnicové sítě S-JTSK vyneseme ve vhodném měřítku body podrobného

  polohového bodového pole
- vyneseme zaměřené body a to tak, že desetinná tečka výškové kóty je vynesený bod

  (nepíšeme číslo bodu, ale jeho výšku u které vynecháme stovky metrů)
- podle polního náčrtu vykreslíme polohopis

- barevná úprava: body PPBP (stanoviska) červeně

                             výškové kóty modře

                             polohopis černě

 

Zpracování výškopisu:
- interpolací určíme body, které mají nadmořskou výšku na celé metry
- vrstevnice dostaneme spojením bodu o stejné nadmořské výšce
- vrstevnice se vykreslují plnou čárou hnědé barvy, každá pátá vrstevnice se vykreslí

  silněji, na několika místech se přeruší – místo pro popis vrstevnice (číslice se vypisují

  taky hnědě ve směru stoupání)
- vrstevnice se nevedou přes železnice, vodní toky, budovy…

Metody interpolace: odhadem, početně, graficky, pomocí průsvitky

 

32. Situační zaměřování – metody, měření a vyhodnocování

1. Polohopis - metoda polárních souřadnic

 - polohu určujeme polárními souřadnicemi → vodorovným

   směrem a vodorovnou vzdálenosti
- stanovisko se volí na známém bodě (jehož zmámé souřadnice,

  bod polygonového pořadu), orientace se volí na další známý bod
- zaměřované body se v polním náčrtu čislují, a změřené hodnoty se

  zapisují do zapisníku (musí být naprostý soulad mezi zápisníkem a

  polním náčrtem)
- po ukončení měření se zjišťují poměrné míry

 

2. Polohopis - metoda pravoúhlých souřadnic (ortogonální)

- základem je podrobná měřická síť tvořena polygonovými stranami
- poloha každého bodu se určuje pravoúhlými souřadnicemi → úsečkou x a

  pořadnici y, které jsou vztaženy k polygonovým stranám
- vznikají tak pravoúhlé souřadnicové soustavy, kde osa x je

  polygonovou stranou a osa y je kolmicí k této straně
- počátkem každé soustavy je bod se staničením 0,00 m
- kolmice < 2 m se vytyčují od oka (křížením pásma), kolmice >

  2 m se vytyčují pentagonem
- pro kontrolu se měří oměrné míry
- všechny naměřené hodnoty se zapisují do polního náčrtu

 

 

3. Metoda protínání vpřed - poloha bodů se určuje zaměřením směrů aspoň ze dvou

  známých stanovisek(z kontrolních důvodů tří).Podkladem pro měření polohy bodů

  jsou body bodového pole, které postačí.Z každého stanoviska  se zaměřují směry na

  všechny viditelné předem očíslované body,jen v jedné poloze dalekohledu (do

  1km).Z naměřených úhlů a souřadnic stanovisek lze počítat pravoúhlé souřadnice 

  bodů.

 

 

33. Vytyčovací práce – polohové vytyčení bodu, přímky, oblouku, plošného objektu

1.Vytýčení bodu:

- pomocí vodorovných vzdáleností a úhlů

- vzdálenosti vypočtené za souřadnic je třeba převést na terén pomocí oprav, ale s opačným znaménkem

-metody vytyčování: ortogonální, polární,

            protínání z úhlů,protínání z délek

2.Vytýčení přímky:    

- vytýčení kolmicemi

- vytýčení pomocí průsečíku úhlopříček

- vytýčení pomocí úhlů

 

 

3. Vytýčení kruhového oblouku:

- kružnicový oblouk o r spojuje dvě přímé trasy. Oblouk se dotýká přímých úseků

 v dotykových bodech z a k. Určíme středový úhel oblouku α, vytyčíme hlavní body

 oblouku pomocí jejich vytyčovacích prvků, vypočteme vytyčovací prvky podrobných

 bodů oblouku a provedeme vytyčení.

Vytýčení hlavních bodů oblouku:

1. Je-li P přístupný, změříme  v tomto bodě úhel β, pak pro úhel α platí α = 2R – β .

  Body Z a K určíme na tečnách z průsečíku tečen P. Pro délky hl. tečen platí PZ = PK

   = T = r*tg (α/2).

-vytýčení vrcholu oblouku:

  a) určíme délku PV a tu vyneseme na osu úhlu β.PV = PS-VS = r/cos(α/2)–r = r (sec

   (α/2)-1).

  b) určíme velikost vzepětí oblouku a v půlícím bodě tětivy ZK jej vyneseme na

    kolmici. vzepětí v = r–r cos(α/2) = r(1-cos(α/2)) = 2rsin2(α/4).

  c) pomocí pravoúhlých souřadnic vztažených k tečně. Úsečka je hodnota ZV1 a

    pořadnice  V1V vzepětí oblouku. ZV1= xv = r * sin(α/2)             V1V = yv = r*(1-

    cos(α/2)) =  2rsin2(α/4).

d) pomocí polárních souřadnic, polární souřadnice tvoří úhel α/4 a délka ZV, ZV=2r

   sin(α/4) 

 

2. Není-li bod P přístupný a není-li možné úhel β změřit přímo, musíme ho určit

  nepřímo. Případně lze k vytyčení oblouku použít tabulek

Vytýčení podrobných bodů oblouku:

 a) od tečny - vytyčením zvolením stejného kroku na tečně - bod Z nebo K zvolíme

                   jako počátek pravoúhlých souřadnic. Na tečnu pak nanášíme hodnotu x (5,

                   10, 15,...m) tak aby nám vzniklo několik bodů. Pořadnice určíme y = r –

                  ODM(r2-x2) dále pak y = r-r(1-(x2/r2))½ na konec y = x2/2r + x4/8r3+...

                  - vytyčením stejného kroku na oblouku zde volíme zaokrouhlenou délku na

                  oblouku s0 a k této délce určíme odpovídající středový úhel φ = (s0/r) * ρ ,

                  z úhlu φ pak určíme souřadnice x a y,  x = r * sin φ  , y = r(1-cos φ) = 2r

                  sin2(φ/2). Pro další body platí, že jejich středový úhel bude 2* φ, 3* φ, 4*

                  φ, ... . I zde lze použít tabulky

 b) od tětivy - pravoúhlý systém volíme tak, že osu úseček vložíme do tětivy ZK a osu

                       y do vzepětí oblouku. Nejdříve vypočteme vzepětí oblouku v = r(1-  

                      cos(α/2)) = 2r sin2(α/4)., potom volíme a vynášíme zaokrouhlené dílky

                      na ose x do kladného i záporného směru a k nim dopočítáváme y, yi =

                      xi2/2r + xi4/8r3, tyto pořadnice ještě přepočteme na pořadnice y´dle

                     výrazu y´i = v-yi . Tuto metodu použijeme pouze  u plochých oblouků

                      v přehledném území.

 

 

 c) polárními souřadnicemi - často používané, použití v nepřehledném členitém terénu.

                       Použijeme teodolitu pro přesné měření polárních úhlů a k určení délek

                       polárních paprsků se využije autoredukční dálkoměr Redta.

34. Vytyčovací práce – výškové vytyčování (bod, výklon, vrstevnice)

Vytýčení výšky bodu:

- z bodu A, jehož nadmořská výška je HA, máme vytyčit v bodě  B nadmořskou výšku HB. Do středu mezi oba body postavíme nivelační přístroj. Na bod A postavíme nivelační lať a odečteme záměru zpět lA, ke které připočteme výšku bodu A a dostaneme výšku horizontu nivelačního přístroje Hp. Když máme v bodě B vytýčit výšku HB, musíme vypočítat potřebné odečtení na lati podle lB = HA + lA - HB.

- posunujeme nivelační lať ve svislém směru podél kolíku tak dlouho, až měřič odečte na lati čtení lB. Tehdy je patka nivelační latě ve výšce HB a vyznačí se výška na kolíku

- při vytyčování výšek na velké vzdálenosti (při velkých výškových rozdílech) musíme do uvedeného prostoru nejdříve přenést výšku stabilizovaného bodu a z něho vytýčíme požadovanou výšku

Vytýčení vrstevnic:

- v technické praxi - úkol: vytýčit hranici území, které bude zaplavené po napuštění rybníku, přehrady

- postup: pro vytyčení použijeme nivelační přístroj

 

   - přístroj postavíme tak, aby jeho horizont byt 1 až 2 m nad vyžadovanou kótou  

     vrstervnice

   - výšku horizontu přístroje HP určíme

    z výšky bodu A podle HP = HA + lA

  - když máme výšku vrstevnice H,

    vypočteme si čtení na lati, při níž patka

    latě bude požadovanou výškou vrstevnice

     l = HP - H

 - pro vytyčení vrstevnice lze také použít rotující laser, metodika vytýčení je stejná

35. Určování ploch – metody

Určování ploch určujeme plochu vodorovného průmětu v zobrazovací rovině, ne

                           plochu povrchu zemského. Obrazce jejichž plochu určujeme dělíme

                           na pravidelné a nepravidelné.

 1. Pravidelné obrazce – zde užíváme obecně známé vzorce pro výpočet ploch čtverců,

                                        obdélníků, trojúhelníku,  lichoběžníků,  kruhu, elipsu, atd.

2. Nepravidelné obrazce – mohou být ohraničeny lomenými čárami nebo křivými

                                         plynulými čárami.

    Podle tohoto hlediska dělíme na 1. pravidelné mnohoúhelníky (řešíme rozkladem na

                                                           jednoduché obrazce (zpravidla trojúhelníky))

 

 

   2. obecně nepravidelné obrazce (nepravidelné mnohoúhelníky)

       - přeměníme na trojúhelníky o stejné ploše (využíváme pravidla že trojúhelníky o

         stejné základně a výšce se rovnají)

       - plochu vypočteme z pravoúhlých souřadnic jeho vrcholů

          2P = Σ (xn-xn-1)*(yn+yn-1), popř. 2P = Σ (yn-yn-1)*(xn+xn-1)

       - nebo z polárních souřadnic vrcholů obrazce 2P=Σ s0n*s0n+1*sin(α0,n+10n)

       - plochu lze určit také ze stran a obvodových úhlů

36. Určování objemů – metody

- při výpočtu objemů se setkáváme zejména se vzorci pro výpočet objemu krychle,

  hranolu kolmého i kosého, jehlanu kosého, kolmého i komolého, válce kolmého i

  kosého, úsek kruhového válce, kužele kolmého, kužele kolmého komolého,

 prizmatoidu (hranolce), koule, kulové vrstvy, kulového prstence, rotačního

 paraboloidu, vrstvu rotačního paraboloidu, rotačního elipsoidu

- protože ale tvary ložiskových těles jsou značně nepravidelné, snažíme se je rozdělit

 tak, abychom mohli těchto vztahů pro pravidelná tělesa použít s dostatečnou přesností - na výpočtu se podílí řada nepřesností (vstupní údaje, neúplné vzorce, nepřesnost

 vstupních ploch,...) a proto je běžná střední chyba v odhadu ložiska 5 - 30 %.

- důležitý pojem je mocnost ložiska, je to vzdálenost mezi podložím a nadložím na

  přímce v určitém směru

37. GPS – princip, využití, zákl. pojmy

GPS - globální polohový systém, radionavigační systém vybudovaný na bázi umělých družic Země. Dává údaje o okamžité poloze, směru, rychlosti pohybu a přesném čase. Přesnost okolo 10 - 15 metrů. Pro geodetické účely se používají relativní metody (určuje se poloha vzhledem k jiné stanici, jejíž poloha je známá). Přesnost 1 - 2ppm = 1 - 2 mm na kilometr (při speciálních aplikacích až 0,1 ppm)

2 navigační systémy: 1. GLONASS (Rusko)

                                   2. NAVSTAR GPS (USA) - plně v provozu a zaručuje příjem

                                      signálu minimálně ze 4 družic, v kterékoliv době a na

                                      kterémkoliv místě na Zemi

                                     - 3 segmenty - vesmírny, řídící, uživatelský

Základní pojmy: kódové měření, fázové měření, absolutní určování polohy, relativní určování polohy, statické metody měření, kinematické metody měření, jednofrekvenční a dvoufrekvenční měření, přijímače s C/A kódem a P kódem,